Жоғары курстарда жоғары математиканы оқитын көптеген студенттер: дифференциалдық теңдеулер (DE) практикада қайда қолданылады? Әдетте, бұл мәселе дәрістерде талқыланбайды, ал оқытушылар студенттерге дифференциалдық теңдеулердің өмірде қолданылуын түсіндірмей бірден DE шешуге көшеді. Біз бұл олқылықтың орнын толтыруға тырысамыз.
Дифференциалдық теңдеуді анықтаудан бастайық. Сонымен, дифференциалдық теңдеу - бұл функция туындысының мәнін функцияның өзіне, тәуелсіз айнымалының мәндеріне және кейбір сандарға (параметрлерге) байланыстыратын теңдеу.
Дифференциалдық теңдеулер қолданылатын ең көп таралған аймақ - бұл табиғат құбылыстарын математикалық сипаттау. Олар сонымен қатар процесті сипаттайтын кейбір шамалар арасында тікелей байланыс орнату мүмкін емес мәселелерді шешуде қолданылады. Мұндай мәселелер биологияда, физикада, экономикада туындайды.
Биологияда:
Биологиялық қауымдастықтарды сипаттайтын алғашқы мағыналы математикалық модель Лотка - Вольтерра моделі болды. Бұл өзара әрекеттесетін екі түрдің популяциясын сипаттайды. Олардың біріншісі, жыртқыш деп аталатын, екіншісі болмаған кезде, x ′ = –ax (a> 0) заңы бойынша өледі, ал екіншісі - олжа - жыртқыштар болмаған жағдайда заңға сәйкес шексіз көбейеді. Мальтус. Осы екі типтің өзара әрекеті келесідей модельденеді. Жәбірленушілер жыртқыштар мен жыртқыштардың кездесу санына тең жылдамдықта өледі, бұл модельде екі популяцияның мөлшеріне пропорционалды, яғни dxy (d> 0) тең деп есептеледі. Демек, y ′ = by - dxy. Жыртқыштар жегендер санына пропорционалды жылдамдықпен көбейеді: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Теңдеулер жүйесі
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
мұндай популяцияны сипаттайтын жыртқыш-жыртқыш Лотка-Вольтерра жүйесі (немесе моделі) деп аталады.
Физикада:
Ньютонның екінші заңын дифференциалдық теңдеу түрінде жазуға болады
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), мұндағы m - дененің массасы, х - оның координатасы, F (x, t) - денеге t уақытта координатасы бар денеге әсер ететін күш. Оның шешімі - көрсетілген күштің әсерінен дененің жүру траекториясы.
Экономикада:
Өнімнің табиғи өсу моделі
Кейбір өнімдер белгіленген бағамен P сатылады деп ойлаймыз, Q (t) t уақытында сатылған өнімнің мөлшерін белгілейік; онда осы уақытта табыс PQ (t) -ке тең болады. Көрсетілген кірістің бір бөлігі сатылған өнімді өндіруге инвестицияларға жұмсалсын, яғни.
I (t) = mPQ (t), (1)
мұндағы m - инвестиция мөлшері - тұрақты сан, ал 0
